เข้าใจง่าย ! เนื้อหาวิชาคณิตฯ เรื่องลำดับและอนุกรม ชั้น ม.5

เข้าใจง่าย ! เนื้อหาวิชาคณิตฯ เรื่องลำดับและอนุกรม ชั้น ม.5



สำหรับน้อง ๆ คนไหนที่กำลังเรียนอยู่ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย และกำลังเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัยอีกไม่นานแล้วนั้น ในบทความนี้ แคมปัส-สตาร์ ก็มีเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ ลำดับและอนุกรม ม.5 เนื้อหาวิชาคณิตฯ ฉบับอ่านเข้าใจง่ายมาฝาก

คณิตฯ ลำดับและอนุกรม ม.5

ลำดับ เป็นจำนวนหรือพจน์ที่เขียนเรียงกันภายใต้กฏเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นลำดับทั่ว ๆ ไป โดยแบ่งออกเป็น 2 ชนิด ได้แก่

– ลำดับจำกัด คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด เช่น 1, 2, 3, 4, …, 100 ฯลฯ
– ลำดับอนันต์ คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด เช่น 1, 2, 3, 4, … ฯลฯ

ลำดับ  

บทนิยาม คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 เรียกว่า “ลำดับ” ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n } เรียกว่า “ลำดับจำกัด” และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … } เรียกว่า “ลำดับอนันต์”

ความหมายของลำดับในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป กล่าวคือ ถ้า a เป็น ลำดับจำกัด จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an และถ้า a เป็น ลำดับอนันต์ จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an, …

เรียก a1 ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ

เรียก a2 ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ

เรียก a3 ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ

และเรียก an ว่า พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

ตัวอย่างของการเขียนลำดับ



– ตัวอย่างที่ 1 : 4, 7, 10, 13 เป็นลำดับจำกัดที่มี a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 และ an = 3n + 1
– ตัวอย่างที่ 2 : – 2, 1, 6, 13, … เป็นลำดับอนันต์ที่มี a1 = – 2, a2 = 1, a3 = 6, a4 = 13 และ an = n2 – 3

นอกจากการเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป พร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมนด้วย

ตัวอย่างการเขียน



– ตัวอย่างที่ 1 : ลำดับ 4, 7, 10, 13 อาจเขียนแทนด้วย an = 3n + 1 เมื่อ n { 1, 2, 3, 4 }
– ตัวอย่างที่ 2 : – 2 , 1, 6, 13, … อาจเขียนแทนด้วย an = n2 – 3 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

ทั้งนี้ ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมนให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น ลำดับอนันต์

ตังอย่างการเขียนลำดับจัด และลำดับอนันต์



โดยที่ ลำดับจำกัด เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ในพจน์แรก และลำดับอนันต์ เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

– ตัวอย่างที่ 1 : 6, 12, 18, 24, 30 เป็นลำดับจำกัด
– ตัวอย่างที่ 2 : an= 5n – 2 เมื่อ n { 1, 2, 3, …, 20 } เป็นลำดับจำกัด
– ตัวอย่างที่ 3 : 2, 4, 8, 16, …, an, … เป็นลำดับอนันต์
– ตัวอย่างที่ 4 : an = n2 +3 เป็นลำดับอนันต์

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต เป็นลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม (Common difference)

ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 , … เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จะได้ a2 – a1 = a3 – a2 = … = an+1 – an เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ผลต่างร่วม” (Common difference) เขียนแทนด้วย “d”  จากบทนิยาม d = an+1 – an หรือ an+1 = an + d

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเลขาคณิต เป็นลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่ ทุกค่าของจำนวนนับ n และเรียกค่าคงที่นี้ว่า “อัตราส่วนร่วม” (Common ratio)

ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว จะได้เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “อัตราส่วนร่วม” (Common ratio) เขียนแทนด้วย “r”

** นอกจากจะมีลำดับเลขคณิต และลำดับเลขาคณิตแล้วนั้น ก็ยังมีลำดับอื่น ๆ ที่น่าสนใจีอีกด้วย ได้แก่

ลำดับหลายชั้น
ลำดับหลายชั้น เป็นลำดับเลขอนุกรม มีค่าความแตกต่างระหว่างตัวเลขมีลักษณะเป็นเลขอนุกรมด้วย

ตัวอย่างการเขียนลำดับหลายชั้นลำดับเว้นระยะ



ลำดับเว้นระยะ เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งประกอบด้วยอนุกรมมากกว่า 1 ซ้อนกันอยู่ภายในโจทย์เดียวกัน

ตัวอย่างการเขียนลำดับเว้นระยะ

ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด



ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด เป็นลำดับอนุกรมที่เกิดจากค่าความแตกต่างที่เป็นชุด คือหลายตัวประกอบขึ้นมาและใช้ค่าแตกต่างที่เป็นชุดดังกล่าวในการพิจารณาเลขอนุกรมลำดับถัดไป

ตัวอย่างการเขียนลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด



ลำดับยกกำลัง

ลำดับยกกำลัง เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งเกิดจากการยกกำลังของตัวเลขต่าง ๆ หรืออาจเกิดจากค่าความแตกต่างที่อาจเป็นเลขยกกำลัง

อนุกรม 

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็นลำดับจำกัดที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1 + a2 + a3 + … + an ว่าอนุกรมจำกัด

และในทำนองเดียวกัน ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดับอนันต์ จะ เรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป a1 + a2 + a3 + … + an + … ว่าอนุกรมอนันต์

ความหมายของอนุกรม และสัญลักษณ์แทนการบวก

กำหนด a1, a2, a3, … , an เป็นลำดับจำกัด จะได้ a1 + a2 + a3 + … + an เป็นอนุกรมจำกัด

และ เมื่อ a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดับอนันต์ จะได้ a1 + a2 + a3 + … + an + … เป็นอนุกรมอนันต์

โดยจากบทนิยาม เราจะได้ว่าอนุกรมจำกัดมาจากลำดับจำกัด และอนุกรมอนันต์มาจากลำดับอนันต์

จากอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + …

เรียก a1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม

เรียก a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม

เรียก a3 ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม

และเรียก an ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม

ตัวอย่างของการเขียนอนุกรม

– ตัวอย่างที่ 1 : 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 เป็นอนุกรมจำกัด ที่ได้จากลำดับจำกัด 1, 3, 5, 7, …, 99
– ตัวอย่างที่ 2 : 1 + 2 + 4 + … + 2n-1 + … เป็นอนุกรมอนันต์ ที่ได้จากลำดับอนันต์ 1, 2, 4, …, 2n-1 , …